Exercice 11, § 4

Soient A un ensemble, $\mathfrak{K}$ une partie de l’ensemble $\mathfrak{F}(A)$ des parties finies de A ; on dit que $\mathfrak{K}$ est mobile si elle vérifie la condition suivante:

(MO) Si X, Y sont deux éléments distincts de $\mathfrak{R}$ et si $z \in X \cap Y$, il existe une partie $Z \subset X \cup Y$ appartenant à $\mathfrak{R}$ et telle que $z \notin Z$.

On dit alors qu'une partie P de A est pure si elle ne contient aucun ensemble appartenant à $\mathfrak{R}$.

a) Montrer que toute partie pure de A est contenue dans une partie pure maximale de A. b) Soit M une partie pure maximale de A ; montrer que pour tout $x \in \mathbf{CM}$ il existe une unique partie finie $E_M(x)$ de M telle que $E_M(x) \cup \{x\} \in \mathfrak{R}$. En outre, si $y \in E_M(x)$, l'ensemble $(M \cup \{x\}) - \{y\}$ est une partie pure maximale de A. c) Soient M, N deux parties pures maximales de A, telles que $N \cap \mathbf{CM}$ soit fini ; montrer que $\mathrm{Card}(M) = \mathrm{Card}(N)$. (Raisonner par récurrence sur le cardinal de $N \cap \mathbf{CM}$ en utilisant b).) d) Soient M, N deux parties pures maximales de A, et posons $N' = N \cap \mathbf{CM}$, $M' = M \cap \mathbf{CN}$; montrer que l'on a $M' \subset \bigcup_{x \in N'} E_M(x)$. En déduire que $\mathrm{Card}(M) = \mathrm{Card}(N)$ (on est ramené, en vertu de c), au cas où $N'$ et $M'$ sont infinis ; montrer alors que $\mathrm{Card}(M') \leqslant \mathrm{Card}(N')$).