Bài tập 11, § 4

Cho A là một tập hợp và cho $\mathfrak{R}$ là một tập con của tập hợp $\mathfrak{F}(A)$ gồm các tập con hữu hạn của A. $\mathfrak{R}$ được gọi là di động nếu nó thỏa mãn điều kiện sau :

(MO) Nếu X, Y là hai phần tử phân biệt của $\mathfrak{R}$ và nếu $z \in X \cap Y$, thì tồn tại $Z \subset X \cap Y$ thuộc $\mathfrak{R}$ sao cho $z \notin Z$.

Một tập con P của A khi đó được gọi là thuần nếu nó không chứa tập hợp nào thuộc $\mathfrak{R}$.

(a) Chứng minh rằng mọi tập con thuần của A đều được chứa trong một tập con thuần cực đại của A.

(b) Cho M là một tập con thuần cực đại của A. Chứng minh rằng với mỗi $x \in \complement M$ tồn tại duy nhất một tập con hữu hạn $E_M(x)$ của M sao cho $E_M(x) \cup \{x\} \in \mathfrak{R}$. Hơn nữa, nếu $y \in E_M(x)$, tập hợp $(M \cup \{x\}) - \{y\}$ là một tập con thuần cực đại của A.

(c) Cho M, N là hai tập con thuần cực đại của A, sao cho $N \cap \complement M$ là hữu hạn. Chứng minh rằng Card (M) = Card (N). (Chứng minh bằng quy nạp theo lực lượng của $N \cap \complement M$, sử dụng (b).)

(d) Cho M, N là hai tập con thuần cực đại của A, và đặt $N' = N \cap \complement M$, $M' = M \cap \complement N$. Chứng minh rằng

\* Suy ra rằng Card (M) = Card (N) (do (c), ta quy về trường hợp N' và M' là vô hạn; khi đó chứng minh rằng Card (M') $\leqslant$ Card (N')). \*