Exercice 9, § 4

On dit qu’une partie A d’un ensemble réticulé E est coréticulée si, pour tout couple d’éléments $(x, y)$ de A, $\sup_E(x, y)$ et $\inf_E(x, y)$ appartiennent à A. a) Soient $(C_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’ensembles totalement ordonnés, $E = \prod_{i=1}^n C_i$ leur produit, A un sous-ensemble coréticulé de E. Montrer qu’il ne peut exister dans A plus de n éléments irréductibles (III, p. 81, exerc. 7) et deux à deux incomparables. (Raisonner par l’absurde, en supposant qu’il y ait, dans A, $r > n$ éléments irréductibles et deux à deux incomparables $a_i$ ($1 \leq i \leq r$). Considérer les éléments $u = \sup(a_1, \ldots, a_r)$ et $v_i = \sup_{1 \leq j \leq r, j \neq i} (a_j)$ de A, et, en projetant sur les ensembles facteurs, montrer que l’on aurait $u = v_i$ pour un indice i, et que cela entraînerait que deux des $a_i$ sont comparables.) b) Réciproquement, soient F un ensemble réticulé distributif fini, P l’ensemble des éléments irréductibles de F distincts du plus petit élément de F, et supposons que le plus grand nombre d’éléments d’une partie libre (III, p. 70, exerc. 5) de P soit égal à n. Montrer que F est isomorphe à un sous-ensemble coréticulé d’un produit de n ensembles totalement ordonnés. (Appliquer l’exerc. 5 de III, p. 81, de sorte que P est réunion de n ensembles totalement ordonnés $P_i$ sans élément commun ; soit $C_i$ l’ensemble totalement ordonné obtenu en adjoignant à $P_i$ un plus petit élément, pour $1 \leq i \leq n$. Associer ensuite à tout $x \in F$ la famille $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$, où $x_i$ est la borne supérieure, dans $C_i$, de l’ensemble des éléments de $P_i$ qui sont $\leq x$.)