Bài tập 9, § 4

Một tập con A của một dàn E được gọi là một dàn con nếu với mỗi cặp $(x, y)$ các phần tử của A, $\sup_{\mathrm{E}}(x, y)$ và $\inf_{\mathrm{E}}(x, y)$ thuộc A.

(a) Cho $(\mathrm{C}_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ là một họ hữu hạn các tập hợp được sắp thứ tự toàn phần và cho

là tích của chúng. Cho A là một dàn con của E. Chứng minh rằng A không thể có nhiều hơn $n$ phần tử bất khả quy (Bài tập 7), không có hai phần tử nào trong số đó so sánh được. (Chứng minh là bằng reductio ad absurdum. Giả sử tồn tại $r > n$ phần tử bất khả quy $a_1$, ..., $a_r$ trong A, không có hai phần tử nào trong số đó so sánh được. Xét các phần tử $u = \sup{(a_1, \ldots, a_r)}$ và

của A. Bằng cách chiếu lên các thừa số, hãy chứng minh rằng $u = v_i$ với một chỉ số $i$ nào đó, và do đó hai trong số các $a_i$ là so sánh được.)

(b) Ngược lại, cho F là một dàn phân phối hữu hạn, cho P là tập hợp các phần tử bất khả quy của F khác phần tử nhỏ nhất của F, và giả sử rằng $n$ là số lớn nhất các phần tử trong một tập con tự do của P (§ 1, Bài tập 5). Chứng minh rằng F là đẳng cấu với một dàn con của một tích của $n$ tập sắp thứ tự toàn phần. (Áp dụng Bài tập 5, bài này chỉ ra rằng P là hợp của $n$ tập sắp thứ tự toàn phần $\mathrm{P}_i$ không có phần tử nào chung. Cho $\mathrm{C}_i$ là tập sắp thứ tự toàn phần thu được bằng cách thêm một phần tử nhỏ nhất vào $\mathrm{P}_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$. Với mỗi $x \in \mathrm{F}$, liên kết họ $(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$, trong đó $x_i$ là cận trên trong $\mathrm{C}_i$ của tập hợp các phần tử của $\mathrm{P}_i$ thỏa mãn $\leqslant x$.)