Exercice 12, § 6

Montrer que, pour tout ordinal α, et tout ordinal γ > 1, il existe deux suites finies d’ordinaux (λ_i) et (μ_i) (1 ≤ i ≤ k) tels que l’on ait

ainsi que les relations 0 < μ_i < γ pour tout i, et λ_i > λ_{i+1} pour 1 ≤ i ≤ k − 1 (utiliser l’exerc. 18 d) de III, p. 79, et l’exerc. 3 de III, p. 80, § 3). En outre, les suites (λ_i) et (μ_i) déterminées par ces conditions sont uniques. En particulier, il existe une suite finie décroissante (β_j)_{1 ≤ j ≤ m} et une seule telle que On désignera par φ(α) le plus grand ordinal ω^{β_1} de cette décomposition. b) Pour tout entier n, soit f(n) ≤ n! le plus grand nombre d’éléments dans l’ensemble des ordinaux de la forme où (α_i)_{1 ≤ i ≤ n} est une suite de n ordinaux quelconques, et où σ parcourt l’ensemble des permutations de l’intervalle {1, n}. Montrer que l’on a (Considérer d’abord le cas où tous les φ(α_i) sont égaux et montrer qu’alors le plus grand nombre possible d’ordinaux distincts de la forme voulue est égal à n; on utilisera pour cela l’exerc. 16 a) de III, p. 78. Raisonner ensuite par récurrence sur le nombre des ordinaux α_i pour lesquels φ(α_i) prend la plus petite valeur possible parmi l’ensemble des φ(α_j) (1 ≤ j ≤ n)). Déduire de (1) que, pour n ≥ 20, on a f(n) = 81f(n − 5). c) Montrer que les n! ordinaux (ω + σ(1))(ω + σ(2))...(ω + σ(n)) où σ parcourt l’ensemble des permutations de {1, n}, sont tous distincts.