Bài tập 12, § 6

(a) Chứng minh rằng, với mỗi số thứ tự $\alpha$ và mỗi số thứ tự $\gamma > 1$, tồn tại hai dãy hữu hạn các số thứ tự $(\lambda_i)$ và $(\mu_i)$ $(1 \leqslant i \leqslant k)$ sao cho

trong đó $0 < \mu_i < \gamma$ với mỗi $i$, và $\lambda_i > \lambda_{i+1}$ với $1 \leqslant i \leqslant k - 1$ (sử dụng Bài tập 18 (d) của § 2 và Bài tập 3 của § 4). Hơn nữa, các dãy $(\lambda_i)$, $(\mu_i)$ được xác định duy nhất bởi các điều kiện này. Đặc biệt, tồn tại một dãy giảm hữu hạn duy nhất $(\beta_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ sao cho

Gọi $\varphi(\alpha)$ là số thứ tự $\omega^{\beta_1}$ lớn nhất trong phân tích này.

(b) Với mỗi số nguyên $n$, gọi $f(n) \leqslant n!$ là số lớn nhất các phần tử trong tập hợp các số thứ tự có dạng $\alpha_{\sigma(1)} + \alpha_{\sigma(2)} + \cdots + \alpha_{\sigma(n)}$, trong đó $(\alpha_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ là một dãy tùy ý gồm $n$ số thứ tự, và $\sigma$ chạy qua tập hợp các hoán vị của khoảng $[1, n]$. Chứng minh rằng

(1)

(Xét trước trường hợp tất cả các $\varphi(\alpha_i)$ đều bằng nhau và chứng minh rằng số lớn nhất có thể có của các số thứ tự phân biệt có dạng mong muốn bằng $n$, bằng cách sử dụng Bài tập 16 (a) của § 2. Sau đó dùng quy nạp theo số các số thứ tự $\alpha_i$ mà $\varphi(\alpha_i)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể trong tập hợp các số thứ tự $\varphi(\alpha_j)$ $(1 \leqslant j \leqslant n)$.) Suy ra từ (1) rằng với $n \geqslant 20$ ta có $f(n) = 81 f(n-5)$.

(c) Chứng minh rằng $n!$ số thứ tự $(\omega + \sigma(1))(\omega + \sigma(2)) \ldots (\omega + \sigma(n))$, trong đó $\sigma$ chạy qua tập hợp tất cả các hoán vị của $[1, n]$, đều phân biệt.