Exercice 20, § 6

a) Pour qu’un cardinal $\alpha$ soit régulier (exerc. 17), il faut que, pour tout cardinal $b \neq 0$, on ait $a^b = a \cdot \sum_{m < a} m^b$ (utiliser l’exerc. 19, en considérant plusieurs cas, suivant que $b$ est fini, que $\aleph_0 \leq b < a$ ou que $b \geq a$, ainsi que l’exerc. 3 de III, p. 80, § 3). L’hypothèse du continu généralisé entraîne que la condition précédente est aussi suffisante. b) Montrer que, si un cardinal $\alpha$ est tel que, pour tout cardinal $m$ tel que $0 < m < a$, on ait $a^m = a$, $\alpha$ est régulier (utiliser l’exerc. 3 de III, p. 80, § 3). c) Montrer que la proposition « pour tout cardinal régulier $\alpha$ et tout cardinal $m$ tel que $0 < m < a$, on a $a = a^m$ » est équivalente à l’hypothèse du continu généralisé (utiliser a)).