Exercice 32, § 6

Soient $(M_n), (P_n)$ deux suites d’ensembles finis (non tous vides), deux à deux disjoints, ayant pour ensemble d’indices l’ensemble $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels; on pose $\alpha_n = \mathrm{Card}(M_n), \beta_n = \mathrm{Card}(P_n)$. On suppose qu’il existe un entier $k > 0$ tel que, pour tout $n \in \mathbf{Z}$ et tout entier $l \geq 1$, on ait

et

Soient M la réunion de la famille $(M_n)$, P celle de la famille $(P_n)$. Montrer qu’il existe une bijection $\varphi$ de M sur P telle que l’on ait $\varphi(M_n) \subset \bigcup_{i=n-k-1}^{n+k+1} P_i$ et $\varphi^{-1}(P_n) \subset \bigcup_{i=n-k-1}^{n+k+1} M_i$ pour tout indice $n \in \mathbf{Z}$. (Considérer sur chaque $M_n$ (resp. $P_n$) un ordre total, et prendre comme ordre sur M (resp. P) la somme ordinaire (III, p. 69, exerc. 3) de la famille $(M_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ (resp. $(P_n)_{n \in \mathbf{Z}}$); $n_0$ étant un indice tel que $M_{n_0} \neq \varnothing$, considérer les isomorphismes de M sur P qui transforment le plus petit élément de $M_{n_0}$ en l’un des éléments de $\bigcup_{j=n_0-k}^{n_0+k} P_j$, et montrer que l’un de ces isomorphismes répond à la question. On considérera pour cela le plus petit $\delta$ des nombres

et pour toutes les valeurs de $n \in \mathbf{Z}$ et de $l \geq 1$. Si $n \in \mathbf{Z}$ et $l \geq 1$ sont tels par exemple que $\beta_{n-k} + \beta_{n-k+1} + \cdots + \beta_{n+l+k} = \delta + \alpha_n + \alpha_{n+1} + \cdots \alpha_{n+l}$, on peut prendre $\varphi$ tel que le plus petit élément de $P_{n-k}$ soit l’image par $\varphi$ du plus petit élément de $M_n$.