Bài tập 32, § 6

Cho $(M_n)$, $(P_n)$ là hai dãy các tập hợp hữu hạn đôi một rời nhau (không phải tất cả đều rỗng), được đánh chỉ số bởi tập hợp $\mathbf{Z}$ các số nguyên. Đặt $\alpha_n = \mathrm{Card}\ (M_n)$, $\beta_n = \mathrm{Card}\ (P_n)$. Giả sử tồn tại một số nguyên $k > 0$ sao cho với mỗi $n \in \mathbf{Z}$ và mỗi số nguyên $l \geqslant 1$ ta có

Gọi M là hợp của họ $(M_n)$ và gọi P là hợp của họ $(P_n)$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một song ánh $\varphi$ từ M lên P sao cho

đối với mỗi $n \in \mathbf{Z}$. (Xét một thứ tự toàn phần trên mỗi $\mathrm{M}_n$ (tương ứng $\mathrm{P}_n$) và lấy M (tương ứng P) là tổng thứ tự (§ 1, Bài tập 3) của họ $(\mathrm{M}_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ (tương ứng $(\mathrm{P}_n)_{n \in \mathbf{Z}}$). Nếu $n_0$ là một chỉ số sao cho $\mathrm{M}_{n_0} \neq \emptyset$, hãy xét các đẳng cấu từ M lên P biến đổi phần tử nhỏ nhất của $\mathrm{M}_{n_0}$ thành một trong các phần tử của $\bigcup\limits_{j=n_0-k}^{n_0+k} \mathrm{P}_j$, và chứng minh rằng một trong các đẳng cấu này thỏa mãn các điều kiện đã yêu cầu. Gọi $\delta$ là số nhỏ nhất trong các số

với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và mọi $l \geqslant 1$. Nếu $n \in \mathbf{Z}$ và $l \geqslant 1$ sao cho, chẳng hạn, $\beta_{n-k} + \beta_{n-k+1} + \cdots + \beta_{n+l+k} = \delta + \alpha_n + \alpha_{n+1} + \cdots + \alpha_{n+l}$, thì ta có thể chọn $\varphi$ sao cho phần tử bé nhất của $\mathrm{P}_{n-k}$ là ảnh qua $\varphi$ của phần tử bé nhất của $\mathrm{M}_n$.)