Exercice 5, § 7

Soient $I$ un ensemble préordonné filtrant à droite, $(E_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille d'ensembles réticulés tels que chacun des $E_\alpha$, muni de la relation d'ordre opposée, soit nœthérien (III, p. 51). Pour tout couple $(\alpha, \beta)$ d'indices de $I$ tels que $\alpha \leqslant \beta$, soit $f_{\alpha \beta} : E_\beta \to E_\alpha$ une application croissante, et supposons que $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ soit un système projectif d'ensembles relatif à $I$.

Pour tout $\alpha \in I$, soit $G_\alpha$ une partie non vide de $E_\alpha$, telle que les conditions suivantes soient vérifiées:

1° deux éléments distincts de $G_\alpha$ ne sont pas comparables; 2° pour $\alpha \leq \beta$, on a $f_{\alpha \beta}(G_\beta) = G_\alpha;$ 3° pour $\alpha \leq \beta$ et pour tout $x_\alpha \in G_\alpha$, $f_{\alpha \beta}(x_\alpha)$ a un plus grand élément $M_{\alpha \beta}(x_\alpha)$ dans $E_\beta$; 4° pour $\alpha \leq \beta$, si $h_\beta$ est un élément de $E_\beta$ tel qu’il existe $y_\beta \in G_\beta$ pour lequel $y_\beta \leq h_\beta$, alors, pour tout $x_\alpha \in G_\alpha$ tel que $x_\alpha \leq f_{\alpha \beta}(h_\beta)$, il existe $x_\beta \in G_\beta$ tel que $x_\beta \leq h_\beta$ et $x_\alpha = f_{\alpha \beta}(x_\beta)$.

Dans ces conditions, montrer que la limite projective du système projectif de parties $(G_\alpha)$ n’est pas vide. On pourra procéder de la façon suivante: a) Soit $J$ une partie finie de $I$; on dit qu’une famille $(x_\alpha)_{\alpha \in J}$, où $x_\alpha \in G_\alpha$ pour tout $\alpha \in J$, est cohérente si elle satisfait aux deux conditions suivantes: 1) si $\alpha \in J, \beta \in J, \alpha \leq \beta$, on a $x_\alpha = f_{\alpha \beta}(x_\beta)$; 2) pour tout élément $\gamma \in I$ majorant $J$, il existe $x_\gamma \in G_\gamma$ tel que $x_\alpha = f_{\alpha \gamma}(x_\gamma)$ pour tout $\alpha \in J$.

Montrer que pour tout élément $\gamma \in I$ majorant $J$, l’ensemble $\bigcap_{\alpha \in J} f_{\alpha \gamma}^{-1}(x_\alpha)$ admet un plus grand élément égal à $\inf_{\alpha \in J} (M_{\alpha \gamma}(x_\alpha))$; en outre, l’intersection de $G_\gamma$ et de $\bigcap_{\alpha \in J} f_{\alpha \gamma}^{-1}(x_\alpha)$ est l’ensemble (non vide par hypothèse) des $y_\gamma \in G_\gamma$ majorés par $\inf_{\alpha \in J} (M_{\alpha \gamma}(x_\alpha))$ (utiliser la condition 1°).

b) Soit $J$ une partie quelconque de $I$; on dit qu’une famille $x_J = (x_\alpha)_{\alpha \in J}$, où $x_\alpha \in G_\alpha$ pour tout $\alpha \in J$, est cohérente si toute sous-famille finie de $x_J$ est cohérente. Si $J \neq I$ et si $\beta \in I - J$, montrer qu’il existe $x_\beta \in G_\beta$ tel que la famille $x_{J \cup \{\beta\}} = (x_\alpha)_{\alpha \in J \cup \{\beta\}}$ soit cohérente. (Pour toute partie finie $F$ de $J$, montrer, en utilisant a) et la condition 4°, que si $\gamma$ est un majorant de $F \cup \{\beta\}$, $f_{\beta \gamma}(G_\gamma \cap \bigcap_{\alpha \in F} f_{\alpha \gamma}(x_\alpha))$ est l’ensemble (non vide) des $y_\beta \in G_\beta$ majorés par $f_{\beta \gamma}(\inf_{\alpha \in F} (M_{\alpha \gamma}(x_\alpha)))$. En utilisant le fait que $E_\beta$, muni de l’ordre opposé, est noethérien, montrer ensuite qu’il existe une partie finie $F_0$ de $J$ et un majorant $\gamma_0$ de $F_0 \cup \{\beta\}$ tels que, pour toute partie finie $F$ de $J$ et tout majorant $\gamma$ de $F \cup \{\beta\}$, on ait $f_{\beta \gamma}(\inf_{\alpha \in F} (M_{\alpha \gamma}(x_\alpha))) \geq f_{\beta \gamma_0}(\inf_{\alpha \in F_0} (M_{\alpha \gamma_0}(x_\alpha)))$. Prouver alors que tout élément $x_\beta \in F_\beta$ majoré par $f_{\beta \gamma_0}(\inf_{\alpha \in F} (M_{\alpha \gamma_0}(x_\alpha)))$ répond à la question.

c) Achever la démonstration en prouvant qu’il existe une famille cohérente ayant pour ensemble d’indices $I$ tout entier. (Ordonner l’ensemble des familles cohérentes $x_J$ par la relation « $x_J$ est une sous-famille de $x_K$ », et appliquer b) et le th. de Zorn.)