Bài tập 5, § 7

Cho I là một tập có hướng và $(E_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ các dàn sao cho mỗi $E_\alpha$, được trang bị thứ tự đối, là Noether (§ 6, no. 5). Với mỗi cặp $(\alpha, \beta)$ các chỉ số trong I sao cho $\alpha \leqslant \beta$, xét

là một ánh xạ tăng, và giả sử $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ là một hệ ngược của các tập hợp đối với I. Với mỗi $\alpha \in I$, cho $G_\alpha$ là một tập con khác rỗng của $E_\alpha$ sao cho (i) không có hai phần tử phân biệt nào của $G_\alpha$ so sánh được với nhau, (ii) $f_{\alpha\beta}(G_\beta) = G_\alpha$ mỗi khi $\alpha \leqslant \beta$, (iii) với mỗi $\alpha \leqslant \beta$ và mỗi $x_\alpha \in G_\alpha$, $\overset{-1}{f_{\alpha\beta}}(x_\alpha)$ có một phần tử lớn nhất $M_{\alpha\beta}(x_\alpha)$ trong $E_\beta$, (iv) với $\alpha \leqslant \beta$, nếu $h_\beta \in E_\beta$ sao cho tồn tại $y_\beta \in G_\beta$ thỏa mãn $y_\beta \leqslant h_\beta$, thì với mỗi $x_\alpha \in G_\alpha$ sao cho $x_\alpha \leqslant f_{\alpha\beta}(h_\beta)$, tồn tại $x_\beta \in G_\beta$ sao cho $x_\beta \leqslant h_\beta$ và $x_\alpha = f_{\alpha\beta}(x_\beta)$. Dưới những điều kiện này, giới hạn ngược của hệ ngược các tập con $(G_\alpha)$ không rỗng. Chứng minh được tiến hành như sau:

(a) Cho J là một tập con hữu hạn của I. Một họ $(x_\alpha)_{\alpha \in J}$, trong đó $x_\alpha \in G_\alpha$ với mọi $\alpha \in J$, được gọi là nhất quán nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) nếu $\alpha \in J$, $\beta \in J$, $\alpha \leqslant \beta$, thì $x_\alpha = f_{\alpha\beta}(x_\beta)$; (ii) với mỗi cận trên $\gamma$ của J trong I, tồn tại $x_\gamma \in G_\gamma$ sao cho $x_\alpha = f_{\alpha\gamma}(x_\gamma)$ với mọi $\alpha \in J$. Chứng minh rằng, với mỗi cận trên $\gamma$ của J trong I, tập $\bigcap\limits_{\alpha \in J} \overset{-1}{f_{\alpha\gamma}}(x_\alpha)$ có một phần tử lớn nhất bằng $\inf\limits_{\alpha \in J} (M_{\alpha\gamma}(x_\alpha))$; hơn nữa, giao của $G_\gamma$ và $\bigcap\limits_{\alpha \in J} \overset{-1}{f_{\alpha\gamma}}(x_\alpha)$ là tập (khác rỗng theo giả thiết) gồm tất cả các $y_\gamma \in G_\gamma$ sao cho

(sử dụng điều kiện (i)).

(b) Cho J là một tập con bất kỳ của I. Một họ $x_J = (x_\alpha)_{\alpha \in J}$, trong đó $x_\alpha \in G_\alpha$ với mọi $\alpha \in J$, được gọi là phù hợp nếu mọi họ con hữu hạn của $x_J$ đều phù hợp. Nếu $J \neq I$ và nếu $\beta \in I - J$, hãy chỉ ra rằng tồn tại $x_\beta \in G_\beta$ sao cho họ $x_{J \cup \{\beta\}} = (x_\alpha)_{\alpha \in J \cup \{\beta\}}$ là phù hợp. (Sử dụng (a) và điều kiện (iv), hãy chỉ ra rằng, với mọi tập con hữu hạn F của J, nếu $\gamma$ là một cận trên của $F \cup \{\beta\}$, thì $f_{\beta\gamma}\left(G_\gamma \cap \bigcap\limits_{\alpha \in F} \overset{-1}{f_{\alpha\gamma}}(x_\alpha)\right)$ là tập hợp (không rỗng) của tất cả các $y_\beta \in G_\beta$ thỏa mãn $\leqslant f_{\beta\gamma}\left(\inf\limits_{\alpha \in F} (M_{\alpha\gamma}(x_\alpha))\right)$. Sử dụng sự kiện rằng $E_\beta$ được trang bị thứ tự đối là Noether, hãy chỉ ra tiếp rằng tồn tại một tập con hữu hạn $F_0$ của J và một cận trên $\gamma_0$ của $F_0 \cup \{\beta\}$ sao cho với mỗi tập con hữu hạn F của J và mỗi cận trên $\gamma$ của $F \cup \{\beta\}$ ta có

Chứng minh rằng khi đó mọi phần tử $x_\beta \in F_\beta$ thỏa mãn $\leqslant f_{\beta\gamma_0}\left(\inf\limits_{\alpha \in F_0} (M_{\alpha\gamma_0}(x_\alpha))\right)$ đều thỏa mãn các điều kiện cần thiết.

(c) Cuối cùng, hoàn thành chứng minh bằng cách chỉ ra rằng tồn tại một họ phù hợp có tập chỉ số là toàn bộ I. (Sắp thứ tự tập hợp các họ phù hợp $x_J$ bởi quan hệ "$x_J$ là một họ con của $x_K$", và áp dụng (b) và bổ đề Zorn.)