Exercice 6, § 2

Soit $\Sigma$ l’espèce de structure ayant un ensemble de base principal $A$ et un ensemble auxiliaire $k$, dont la structure générique $(F, H)$ a pour caractérisation typique

et dont l’axiome est le suivant (que l’on pourra écrire de façon plus explicite): « $F$ est une structure de $k$-algèbre commutative, ayant un élément unité, et $H$ est un idéal irréductible de l’algèbre $A$ » (on rappelle qu’un idéal irréductible d’une $k$-algèbre $A$ est un idéal $a$ tel que, pour tout couple d’idéaux $b, c$ de $A$ vérifiant $b \cap c = a$, on ait $b = a$ ou $c = a$ ) (A, II, § 2, exerc. 16). Si $A, A'$ sont deux ensembles munis respectivement de structures $(F, H)$, $(F', H')$ d’espèce $\Sigma$, on définit les $\sigma$-morphismes de $A$ dans $A'$ comme les homomorphismes de $k$-algèbres $f$, transformant l’élément unité en élément unité et tels que $f(H) \subset H'$. Donner un exemple de famille $(\mathscr{S}_\lambda)$ de structures d’espèce $\Sigma$ sur un ensemble $A$, telle qu’il existe une borne supérieure de cette famille de structures (dans l’ensemble ordonné de structures d’espèce $\Sigma$ sur $A$), mais que cette borne supérieure ne soit pas structure initiale pour la famille $(A_\lambda, \mathscr{S}_\lambda, \mathrm{Id}_\lambda)$, où $A_\lambda$ est l’ensemble $A$ muni de la structure $\mathscr{S}_\lambda$ et $\mathrm{Id}_\lambda$ l’application identique de $A$ dans $A_\lambda$. (Considérer un anneau de polynômes $A = k[T]$. Les idéaux irréductibles de $A$ sont alors les puissances des idéaux maximaux (AC, VII, § 2, exerc. 6). Si $F$ est la structure de $k$-algèbre de $A$, considérer les deux structures d’espèce $\Sigma$, $(F, \mathfrak{p}_1)$ et $(F, \mathfrak{p}_2)$, où $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2$ sont des idéaux maximaux distincts de $A$; montrer que la borne supérieure de ces deux structures est $(F, (0))$, mais que ce n’est pas la structure initiale pour la famille considérée; pour le voir, on considérera la sous-$k$-algèbre $B = k + (\mathfrak{p}_1 \cap \mathfrak{p}_2)$ de $A$, dans laquelle $\mathfrak{p}_1 \cap \mathfrak{p}_2$ est un idéal maximal, et l’injection $B \to A$). En déduire de même un exemple d’espèce de structure $\Sigma'$, de famille $(\mathscr{S}'_\lambda)$ de structures d’espèce $\Sigma'$ sur un ensemble $A'$, telle qu’il existe une borne inférieure de cette famille de structures, mais que cette borne inférieure ne soit pas structure finale. (Considérer sur le dual de $A$ (en tant qu’espace vectoriel) la structure de $k$-cogèbre linéairement compacte déduite de la structure de $k$-algèbre de $A$ par transposition (A, III, § 11, no 1) et définir aussi par transposition l’espèce de structure $\Sigma'$).