Bài tập 6, § 2

Cho $\Sigma$ là loài cấu trúc có tập hợp cơ sở chính A và một tập hợp phụ $k$, mà cấu trúc tổng quát (F, H) có đặc trưng hóa điển hình là

và có tiên đề (có thể viết tường minh hơn) như sau: "F là một cấu trúc đại số $k$ giao hoán có phần tử đơn vị, và H là một iđêan bất khả quy của đại số A" (ta nhắc lại rằng một iđêan bất khả quy trong một đại số $k$-đại số A là một iđêan $\mathfrak{a}$ sao cho, đối với mọi iđêan $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{c}$ của A thỏa mãn $\mathfrak{b} \cap \mathfrak{c} = \mathfrak{a}$, hoặc $\mathfrak{b} = \mathfrak{a}$ hoặc $\mathfrak{c} = \mathfrak{a}$). Nếu A, A$'$ là hai tập hợp lần lượt được trang bị các cấu trúc (F, H), (F$'$, H$'$) của loài $\Sigma$, ta định nghĩa các $\sigma$-môphism của A vào A$'$ là các đồng cấu $f$ của các $k$-đại số, biến phần tử đơn vị thành phần tử đơn vị, và thỏa mãn $f(\mathrm{H}) \subset \mathrm{H}'$. Hãy cho một ví dụ về một họ $(\mathscr{S}_\lambda)$ các cấu trúc của loài $\Sigma$ trên một tập hợp A, sao cho tồn tại một cận trên lớn nhất cho họ các cấu trúc này (trong tập hợp có thứ tự của các cấu trúc của loài $\Sigma$ trên A) nhưng cận trên lớn nhất này không phải là một cấu trúc ban đầu cho họ $(\mathrm{A}_\lambda, \mathscr{S}_\lambda, \mathrm{Id}_\lambda)$, trong đó $\mathrm{A}_\lambda$ là tập hợp A được trang bị cấu trúc $\mathscr{S}_\lambda$, và $\mathrm{Id}_\lambda$ là ánh xạ đồng nhất $\mathrm{A} \to \mathrm{A}_\lambda$. (Xét một vành đa thức $\mathrm{A} = k[\mathrm{T}]$ : các iđêan bất khả quy trong A là các lũy thừa của các iđêan cực đại. Nếu F là cấu trúc $k$-đại số của A, xét hai cấu trúc $(\mathrm{F}, \mathfrak{p}_1)$ và $(\mathrm{F}, \mathfrak{p}_2)$ của loài $\Sigma$, trong đó $\mathfrak{p}_1$, $\mathfrak{p}_2$ là các iđêan cực đại phân biệt của A; hãy chỉ ra rằng cận trên lớn nhất của hai cấu trúc này là (F, (0)), nhưng rằng đây không phải là cấu trúc ban đầu cho họ đang xét. Để chứng minh điều này, hãy xét $k$-đại số con $\mathrm{B} = k + (\mathfrak{p}_1 \cap \mathfrak{p}_2)$ của A, trong đó $\mathfrak{p}_1 \cap \mathfrak{p}_2$ là một iđêan cực đại, và đơn ánh $\mathrm{B} \to \mathrm{A}$.)

¶ Cũng hãy cho một ví dụ về một loài cấu trúc $\Sigma'$, và một họ $(\mathscr{S}'_\lambda)$ các cấu trúc của loài $\Sigma'$ trên một tập hợp A$'$, sao cho cận dưới lớn nhất của họ các cấu trúc này tồn tại nhưng không phải là cấu trúc cuối cùng cho họ. (Trên đối ngẫu của A (được xem như một không gian vectơ), xét cấu trúc $k$-đại số đối đồng tuyến tính compact tuyến tính suy ra từ cấu trúc $k$-đại số của A bằng phép chuyển vị, và định nghĩa loài cấu trúc $\Sigma'$ bằng phép chuyển vị.)