Exercice 3, § 1

Pour tout nombre réel $\alpha > 0$, soit $G_\alpha$ le groupe topologique $\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$, et soit $G$ le groupe topologique produit $\prod_\alpha G_\alpha$ ($\alpha$ parcourant l’ensemble des nombres $> 0$). Pour tout $x \in \mathbf{R}$, soit $t_\alpha(x)$ l’image canonique de $x$ dans $G_\alpha$; l’application $\varphi : x \mapsto (t_\alpha(x))$ est un homomorphisme injectif et continu de $\mathbf{R}$ dans $G$. On considère sur $\mathbf{R}$ la topologie image réciproque de celle de $G$ par $\varphi$, et on désigne par $E$ le groupe topologique obtenu en munissant $\mathbf{R}$ de cette topologie. Montrer que lorsque $E$ est considéré comme espace vectoriel sur $\mathbf{R}$, sa topologie vérifie les axiomes (EVT$_1'$) et (EVT$_{\text{II}}'$), mais non (EVT$_{\text{III}}'$).