Bài tập 3, § 1

Với mỗi số thực $\alpha > 0$, cho $G_\alpha$ là nhóm tôpô $\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$, và cho $G$ là nhóm tích tôpô $\prod_\alpha G_\alpha$ ($\alpha$ thay đổi trong tập hợp các số $> 0$). Với mỗi $x \in \mathbf{R}$, cho $t_\alpha(x)$ là ảnh chính tắc của $x$ trong $G_\alpha$; ánh xạ $\phi : x \to (t_\alpha(x))$ là một đồng cấu đơn ánh liên tục từ $\mathbf{R}$ vào $G$. Ta xét trên $\mathbf{R}$ tôpô là ảnh ngược qua $\phi$ của tôpô của $G$, và ký hiệu $E$ là nhóm tôpô tạo bởi $\mathbf{R}$ với tôpô này. Chứng minh rằng khi coi $E$ như một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ thì tôpô của nó thỏa mãn (EVT'_I) và (EVT'_II) nhưng không thỏa mãn (EVT'_III).