Exercice 7, § 1

\* Soient A un anneau de valuation discrète, $v$ la valuation normée du corps des fractions K de A ; on prend sur K la valeur absolue $a^v$, où $0 < a < 1$. Soit E un espace vectoriel normé sur K, dont la norme vérifie l’inégalité ultramétrique

a) On désigne par M l’ensemble des $x \in E$ tels que $\|x\| \leq 1$, par $\pi$ une uniformisante de A ; M est un A-module, et $M/\pi M$ un espace vectoriel sur le corps résiduel $k = A/\pi A$ de A. Soit $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille d’éléments de M telle que les images des $e_\lambda$ dans $M/\pi M$ forment une base de ce k-espace vectoriel. Montrer que $(e_\lambda)$ est une famille libre dans E et que le sous-espace vectoriel F de E engendré par $(e_\lambda)$ est dense dans E. b) Si, pour tout $x = \sum \xi_\lambda e_\lambda$ dans F, on pose $\|x\|_1 = \sup_\lambda |\xi_\lambda|$, montrer que sur F les normes $\|x\|$ et $\|x\|_1$ sont équivalentes. c) Supposons K complet. Déduire de a) et b) que si L est fini, le complété $\hat{E}$ de E est isomorphe à $K^L$; si L est infini, $\hat{E}$ est isomorphe au sous-espace $\mathscr{C}_K^0(L)$ de $\mathscr{B}_K(L)$ formé des familles $(\xi_\lambda)$ telles que $\lim \xi_\lambda = 0$ suivant le filtre des complémentaires des parties finies de L. d) On suppose K et E complets ; soit d’autre part G un second espace normé complet sur K dont la norme vérifie l’inégalité ultramétrique. Montrer qu’en remplaçant au besoin la norme de $\mathscr{L}(E;G)$ (TG, X, p. 23) par une norme équivalente, $\mathscr{L}(E;G)$ est isométrique à l’espace vectoriel des familles $(y_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’éléments de G telles que $\sup_{\lambda \in L} \|y_\lambda\| < +\infty$, muni de la norme $\sup_{\lambda \in L} \|y_\lambda\|$ (qui vérifie aussi l’inégalité ultramétrique).