Bài tập 7, § 1

; chỉ ra rằng $\ell_K^1(\mathbf{N})$ với chuẩn $\|x\|$ không bao giờ đầy đủ ngay cả khi K đầy đủ; bao đóng của nó trong $\mathscr{B}_K(\mathbf{N})$ là gì?

7) \* Cho A là một vành với một định giá rời rạc, v là định giá có chuẩn của vành chia các phân thức K của A; lấy giá trị tuyệt đối $a^v$ trên K, trong đó $0 < a < 1$. Cho E là một không gian vectơ có chuẩn trên K, sao cho chuẩn thỏa mãn bất đẳng thức siêu mêtric

a) Ký hiệu M là tập hợp các $x \in E$ sao cho $\|x\| \leq 1$, và $\pi$ là một phần tử nguyên thủy của A; M là một A-môđun, và $M/\pi M$ là một không gian vectơ trên vành chia dư $k = A/\pi A$ của A. Cho $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các phần tử của M sao cho các ảnh của $e_\lambda$ trong $M/\pi M$ tạo thành một cơ sở của không gian vectơ k này. Chỉ ra rằng $(e_\lambda)$ là một họ độc lập trong E và không gian con vectơ F của E sinh bởi $(e_\lambda)$ là trù mật trong E. b) Nếu ta đặt $\|x\|_1 = \sup_\lambda |\xi_\lambda|$, với mọi $x = \sum_\lambda \xi_\lambda e_\lambda$ trong F, chỉ ra rằng trên F các chuẩn $\|x\|$ và $\|x\|_1$ là tương đương. c) Cho K đầy đủ. Suy ra từ a) và b) rằng, nếu L là hữu hạn, phép đầy đủ $\hat{E}$ của E là đẳng cấu với $K^L$; nếu L là vô hạn thì $\hat{E}$ là đẳng cấu với không gian con $\mathscr{C}_K^0(L)$ của $\mathscr{B}_K(L)$ tạo bởi các họ $(\xi_\lambda)$ sao cho $\lim \xi_\lambda = 0$ đối với bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của L. d) Ta giả sử K và E đầy đủ; cho G là một không gian vectơ có chuẩn đầy đủ thứ hai trên K mà chuẩn của nó thỏa mãn bất đẳng thức siêu mêtric. Chỉ ra rằng bằng cách thay thế (nếu cần thiết) chuẩn của $\mathscr{L}(E; G)$ (GT, X, § 3.2) bởi một chuẩn tương đương, thì $\mathscr{L}(E; G)$ là đẳng cự với không gian vectơ của các họ $(y_\lambda)_{\lambda \in L}$ các phần tử của G sao cho $\sup_{\lambda \in L} \|y_\lambda\| < + \infty$, mang chuẩn $\sup_{\lambda \in L} \|y_\lambda\|$ (cũng là một chuẩn siêu mêtric).