Exercice 13, § 2

\* On garde les hypothèses générales et les notations de l’exerc. 12.

a) Soit $L$ un sous-A-module libre de $E$ de dimension $n = \dim E$. Pour tout $x \in E - \{0\}$, l’ensemble des $a \in A$ tels que $ax \in L$ est un idéal fractionnaire de $K$ de la forme $m^h$ ($h$ entier positif ou négatif) ; si l’on pose $\alpha(x) = q^h$, et $\alpha(0) = 0$, montrer que $\alpha$ est une ultranorme sur $E$, dite associée au A-module libre $L$.

b) Inversement, si $\alpha$ est une ultranorme sur $E$, l’ensemble $L_\alpha$ des $x \in E$ tels que $\alpha(x) \leq 1$ est un A-module libre de dimension $n$. Si $[\alpha]$ est la norme associée à $L_\alpha$, on a $\alpha \leq [\alpha] \leq q \alpha$, et $[\alpha]$ est la borne inférieure des normes associées à des A-modules libres et qui sont $\geq \alpha$. On a $[q \alpha] = q.[\alpha]$, et $\alpha(x) = \inf(q^{-t}[q^t \alpha](x))$ pour tout $x \in E$, où $t$ varie dans l’intervalle $[0, 1]$. En outre, la fonction $t \mapsto [q^t \alpha](x)$ est continue à gauche dans cet intervalle.

c) Avec les mêmes notations, montrer que pour $0 \leq t \leq 1$, il y a au plus $n$ ultranormes distinctes parmi les $[q^t \alpha]$. Inversement, soit $L$ l’ensemble des ultranormes associées à des A-modules libres de dimension $n$, et soit $(\alpha_t)_{0 \leq t \leq 1}$ une famille croissante d’ultranormes de $L$ telle que $\alpha_1 = q \alpha_0$. Montrer qu’il existe une base de $E$ par rapport à laquelle toutes les $\alpha_t$ ont la forme standard (si $u \in A$ est un élément de valuation 1, et $L_t$ le A-module libre des $x \in E$ tels que $\alpha_t(x) \leq 1$, considérer les espaces vectoriels $L_t/uL_0$ sur $k$). En déduire que si en outre, pour tout $x \in E$, $t \mapsto \alpha_t(x)$ est continue à gauche dans $[0, 1]$, alors il existe une ultranorme $\alpha$ et une seule telle que $\alpha_t = [q^t \alpha]$ pour tout $t \in [0, 1]$.

d) Le groupe linéaire $GL(E)$ opère continûment dans $\mathfrak{N}_0(E)$ ; montrer qu’il opère proprement. Pour tout $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$, le stabilisateur $S_\alpha$ de $\alpha$ dans $GL(E)$ est l’intersection des stabilisateurs des $[q^t \alpha]$ pour $0 \leq t \leq 1$ ; en déduire que $S_\alpha$ est un sous-groupe ouvert et compact de $GL(E)$, et par suite que l’orbite de tout $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$ est un sous-espace fermé discret de $\mathfrak{N}_0(E)$.

e) Pour toute ultranorme $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$, on considère la suite décroissante des dimensions des $k$-espaces vectoriels $L_t/uL_0$, où $L_t$ est le A-module des $x \in E$ tels que $[q^t \alpha](x) \leq 1$, et $t$ varie de 0 à 1 ; on dit que cette suite est la suite des invariants de $\alpha$. Pour que $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à une même orbite dans $\mathfrak{N}_0(E)$, il faut et il suffit que $X_\alpha = X_\beta$ (exerc. 12, e)) et que les suites des invariants de $\alpha$ et de $\beta$ soient les mêmes (utiliser l’exerc. 12, b)).

f) Déduire de e) que l’espace des orbites $\mathfrak{N}_0(E)/GL(E)$ est isomorphe à l’espace des orbites $T^n/\mathscr{S}_n$, où le groupe symétrique opère à droite sur $T^n$ par $(z_1, \ldots, z_n) \mapsto (z_{\sigma(1)}, \ldots, z_{\sigma(n)})$. \*

1 Pour les exercices 12 et 13, voir O. Goldman and N. Iwahori, The space of $p$-adic norms, Acta math., t. CIX (1963), pp. 137-177.