Bài tập 13, § 2

\* Ta giữ các giả thiết tổng quát và các ký hiệu của Bài tập 12.

a) Cho $L$ là một môđun con A-môđun tự do của $E$ có chiều $n = \dim E$. Với mọi $x \in E - \{0\}$, tập hợp các $a \in A$ sao cho $ax \in L$ là một iđêan phân số của $K$ có dạng $m^h$ ($h$ là một số nguyên dương hoặc âm); nếu đặt $\alpha(x) = q^h$, và $\alpha(0) = 0$, bây giờ chứng minh rằng $\alpha$ là một chuẩn siêu trên $E$, được gọi là liên kết với A-môđun tự do $L$.

b) Ngược lại, nếu $\alpha$ là một chuẩn siêu trên $E$, tập hợp $L_\alpha$ của các $x \in E$ sao cho $\alpha(x) \leq 1$ là một A-môđun tự do có chiều $n$. Nếu $[\alpha]$ là chuẩn liên kết với $L_\alpha$, ta có $\alpha \leq [\alpha] \leq q \alpha$, và $[\alpha]$ là cận dưới lớn nhất của các chuẩn liên kết với các A-môđun tự do và lớn hơn hoặc bằng $\alpha$. Ta có $[q \alpha] = q.[\alpha]$, và $\alpha(x) = \inf(q^{-t}[q^t \alpha](x))$ với mọi $x \in E$, trong đó $t$ biến thiên trong khoảng $[0, 1]$. Hơn nữa, hàm $t \mapsto [q^t \alpha](x)$ là liên tục bên trái trong khoảng này.

c) Với cùng các ký hiệu đó, bây giờ chứng minh rằng với $0 \leq t \leq 1$, có nhiều nhất $n$ chuẩn siêu phân biệt trong số các $[q^t \alpha]$. Ngược lại, cho $L$ là tập hợp các chuẩn siêu liên kết với các A-môđun tự do có chiều $n$, và cho $(\alpha_t)_{0 \leq t \leq 1}$ là một họ tăng các chuẩn siêu của $L$ sao cho $\alpha_1 = q \alpha_0$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một cơ sở của $E$ sao cho tất cả các $\alpha_t$ có dạng chuẩn (nếu $u \in A$ là một phần tử có định giá 1, và $L_t$ là A-môđun tự do của các $x \in E$ sao cho $\alpha_t(x) \leq 1$, xét các không gian vectơ $L_t/uL_0$ trên $k$). Suy ra rằng nếu, hơn nữa, với mọi $x \in E$, $t \mapsto \alpha_t(x)$ là liên tục bên trái trong $[0, 1]$, thì tồn tại duy nhất một chuẩn siêu $\alpha$ sao cho $\alpha_t = [q^t \alpha]$ với mọi $t \in [0, 1]$.

d) Nhóm tuyến tính $GL(E)$ tác động liên tục trong $\mathfrak{N}_0(E)$; bây giờ chứng minh rằng nó tác động đúng. Với mọi $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$, nhóm ổn định $S_\alpha$ của $\alpha$ trong $GL(E)$ là giao của các nhóm ổn định của các $[q^t \alpha]$ với $0 \leq t \leq 1$; suy ra rằng $S_\alpha$ là một nhóm con mở và compact của $GL(E)$, và do đó quỹ đạo của mọi $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$ là một không gian con đóng rời rạc của $\mathfrak{N}_0(E)$.

e) Với mọi ultranorm $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$, xét dãy giảm của các số chiều của các không gian vectơ $k$ $L_t/uL_0$, trong đó $L_t$ là A-môđun của các $x \in E$ sao cho $[q^t \alpha](x) \leq 1$, và $t$ biến thiên từ 0 đến 1; dãy này được gọi là dãy các bất biến của $\alpha$. Để $\alpha$ và $\beta$ thuộc cùng một quỹ đạo trong $\mathfrak{N}_0(E)$, điều kiện cần và đủ là $X_\alpha = X_\beta$ (Bài tập 12, e)) và các dãy các bất biến của $\alpha$ và $\beta$ là như nhau (dùng Bài tập 12, b)).

f) Suy ra từ e) rằng không gian các quỹ đạo $\mathfrak{N}_0(E)/GL(E)$ là đẳng cấu với không gian các quỹ đạo $T^n/\mathscr{S}_n$, trong đó nhóm đối xứng tác động phải trên $T^n$ bởi $(z_1, \ldots, z_n) \mapsto (z_{\sigma(1)}, \ldots, z_{\sigma(n)})$. \*

1 Đối với các Bài tập 12 và 13, xem O. Goldman và N. Iwahori, The space of $p$-adic norms, Acta math., t. CIX (1963), tr. 137-177.