Exercice 3, § 2

Soient E un espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$, $f$ un homomorphisme de groupes additifs de E dans $\mathbf{R}$. Montrer que s’il existe un voisinage de 0 dans E dans lequel $f$ soit bornée, $f$ est une forme linéaire continue dans E. Il en est ainsi en particulier lorsque $f$ est semi-continue (inférieurement ou supérieurement).