Exercice 27, § 2

a)** Soient E un espace vectoriel topologique séparé, B un ensemble convexe fermé non vide dans E, X une partie compacte non vide de E. Montrer que si A est une partie de E telle que $A + X \subset B + X$, on a $A \subset B$ (si $a \in A$, considérer une suite $(x_n)$ de points de X définis par récurrence par les relations $a + x_n = b_n + x_{n+1}$, où $b_n \in B$). En déduire que si A et B sont deux ensembles convexes fermés non vides dans E et X une partie compacte non vide de E, la relation $A + X = B + X$ entraîne $A = B$.

b) Soient E un espace normé, $\sigma$ la distance sur l’ensemble $\mathfrak{F}(E)$ des parties fermées non vides de E, définie à partir de la distance de E par le procédé de TG, IX, p. 91, exerc. 6. Montrer que si A, B, C sont trois parties compactes et convexes non vides de E, on a $\sigma(A + C, B + C) = \sigma(A, B)$ (si $S_\lambda$ est la boule définie par $\|x\| \leq \lambda$, remarquer que $A + S_\lambda$ et $B + S_\lambda$ sont des ensembles convexes fermés et utiliser $a$).

c) Déduire de a) et b) que l’ensemble $\mathfrak{K}(E)$ des parties convexes compactes non vides d’un espace normé, muni de la distance $\sigma$, peut être identifié à un cône dans un espace normé, dont les lois de composition induisent sur $\mathfrak{K}(E)$ les lois $(A, B) \mapsto A + B$ et $(\lambda, A) \mapsto \lambda A$.