Bài tập 27, § 2

a) Cho $B$ là một tập con lồi đóng không rỗng của $E$, một không gian vectơ tôpô Hausdorff, và cho $X$ là một tập compact không rỗng trong $E$. Hãy chứng minh rằng nếu $A$ là một tập con của $E$ sao cho $A + X \subset B + X$, thì $A \subset B$ (nếu $a \in A$, xét một dãy $(x_n)$ các điểm của $X$ được xác định quy nạp bởi quan hệ $a + x_n = b_n + x_{n+1}$, trong đó $b_n \in B$). Suy ra rằng, nếu $A, B$ là hai tập con không rỗng của $E$, sử dụng khoảng cách trong $E$ và thủ tục của GT, IX, § 2, exerc. 6. Hãy chứng minh $A + X = B + X$ kéo theo quan hệ $A = B$. b) Cho $E$ là một không gian định chuẩn, $\sigma$ là hàm khoảng cách được xác định trên tập hợp $\mathfrak{F}(E)$ các tập con đóng không rỗng của $E$, sử dụng khoảng cách trong $E$ và thủ tục của TG, IX, p. 91, exerc. 6. Hãy chứng minh rằng nếu $A, B, C$ là ba tập compact lồi không rỗng trong $E$ thì $\sigma(A + C, B + C) = \sigma(A, B)$ (nếu $S_\lambda$ là quả cầu được xác định bởi $\|x\| \leq \lambda$, chú ý rằng $A + S_\lambda$ và $B + S_\lambda$ là các tập lồi đóng và sử dụng a). c) Suy ra từ a và b rằng tập hợp $\mathfrak{K}(E)$ gồm các tập con compact lồi không rỗng của một không gian định chuẩn $E$, với khoảng cách $\sigma$, có thể được đồng nhất với một nón trong một không gian định chuẩn mà các luật hợp thành cảm sinh trên $\mathfrak{K}(E)$ các luật $(A, B) \to A + B$ và $(\lambda, A) \to \lambda A$.