Exercice 29, § 2

Soient E un espace vectoriel topologique séparé, C un cône épointé convexe ouvert non vide de sommet 0 dans E, V un voisinage convexe de 0 dans E. Si $f$ est une fonction convexe définie et majorée dans $C \cap V$, montrer que $f(x)$ tend vers une limite finie lorsque $x$ tend vers 0 en restant dans $C \cap V$. (Soit $\beta = \limsup_{x \to 0, x \in C \cap V} f(x)$; raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe $\alpha > 0$ tel que, pour tout voisinage W de 0, il existe un point $y \in C \cap V \cap W$ pour lequel $f(y) < \beta - \alpha$. Montrer qu’il existe un point $a \in C \cap V$ tel que $f(\rho a) \geq \beta - \frac{1}{2} \alpha$ pour $0 < \rho \leq 1$; en déduire qu’il existerait, sur une droite joignant un point de la forme $\rho a$ ($\rho$ assez petit) à un point $y$ assez voisin de 0 dans $C \cap V$ et tel que $f(y) < \beta - \alpha$, des points de $C \cap V$ où $f$ serait arbitrairement grande.)