Bài tập 29, § 2

Cho $E$ là một không gian vectơ tôpô Hausdorff, và $C$ là một nón lồi mở không nhọn khác rỗng với đỉnh 0, trong $E$. Một lân cận lồi của 0 trong $E$ được ký hiệu bởi $V$. Nếu $f$ là một hàm lồi được xác định và bị chặn trên trong $C \cap V$, hãy chứng minh rằng $f(x)$ tiến tới một giới hạn hữu hạn khi $x$ tiến tới 0, trong đó $x \in C \cap V$. (Đặt $\beta = \limsup_{x \to 0, x \in C \cap V} f(x)$; hãy thu được một mâu thuẫn, giả sử rằng với một $\alpha > 0$, và mọi lân cận W của 0, tồn tại một điểm $y \in C \cap V \cap W$ sao cho $f(y) < \beta - \alpha$. Hãy chứng minh rằng tồn tại $a \in C \cap V$ sao cho $f(\rho a) \geq \beta - \frac{1}{2}\alpha$ với $0 < \rho \leq 1$; suy ra rằng, trên một đường thẳng nối một điểm có dạng $\rho a$ ($\rho$ đủ nhỏ) với một điểm $y$ trong $C \cap V$ sao cho $f(y) < \beta - \alpha$, và đường thẳng đó đủ gần 0, tồn tại các điểm của $C \cap V$ tại đó $f$ lớn tùy ý.)