Exercice 1, § 4

Soient E un espace vectoriel, A un ensemble convexe symétrique dans E. Soient $\mathscr{T}, \mathscr{T}'$ deux topologies localement convexes sur E, $\mathscr{U}, \mathscr{U}'$ les structures uniformes définies par $\mathscr{T}, \mathscr{T}'$ sur E. Pour que la structure uniforme induite sur A par $\mathscr{U}'$ soit plus fine que celle induite par $\mathscr{U}$, il faut et il suffit que tout voisinage de 0 pour la topologie induite sur A par $\mathscr{T}$ soit un voisinage de 0 pour la topologie induite sur A par $\mathscr{T}'$.