Exercice 12, § 4

Soit E un espace vectoriel ayant une base dénombrable $(e_n)$. Soit V l’enveloppe convexe équilibrée de l’ensemble des $e_n$, et soit W l’enveloppe convexe équilibrée de l’ensemble des points

Soit $\mathscr{T}_1$ (resp. $\mathscr{T}_2$) la topologie localement convexe sur E dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé des $\lambda V$ (resp. $\lambda W$) pour $\lambda > 0$. Montrer que $\mathscr{T}_1$ et $\mathscr{T}_2$ sont séparées, mais que la borne inférieure de $\mathscr{T}_1$ et $\mathscr{T}_2$ dans l’ensemble des topologies localement convexes sur E n’est pas séparée (cf. II, p. 85, exerc. 26).