Exercice 3, § 4

Soient I l’intervalle compact $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$, F l’espace vectoriel $\mathscr{C}(I ; \mathbf{R})$ des fonctions numériques continues dans I. Soit E l’espace produit $\mathbf{R}^F$; pour tout $a \in I$, soit $\varepsilon_a$ l’élément de E tel que $\varepsilon_a(f) = f(a)$ pour toute $f \in F$. a) Montrer que, lorsque x parcourt I, l’ensemble K formé des $\varepsilon_x$ est compact dans E. b) Soit $\lambda$ l’élément de E tel que $\lambda(f) = \int_0^1 f(t)\, dt$ pour toute $f \in F$ (« mesure de Lebesgue »). Montrer que, dans E, $\lambda$ est adhérent à l’enveloppe convexe de K, mais n’appartient pas à cette enveloppe ($cf.$ FVR, II, p. 7, prop. 5).