Bài tập 3, § 4

Cho $I$ là khoảng compact $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$ và $F$ là không gian vectơ $\mathscr{C}(I, \mathbf{R})$ của các hàm giá trị thực liên tục xác định trong $I$. Cho $E$ là không gian tích $\mathbf{R}^F$; với mọi $a \in I$, cho $\varepsilon_a$ là phần tử của $E$ sao cho $\varepsilon_a(f) = f(a)$ với mọi $f \in F$. a) Chứng minh rằng, khi $x$ biến thiên trong $I$, tập hợp $K$ tạo bởi các $\varepsilon_x$ là compact trong $E$. b) Cho $\lambda$ là một phần tử của $E$ sao cho $\lambda(f) = \int_0^1 f(t)\ dt$ với mọi $f \in F$ (độ đo Lebesgue). Chứng minh rằng, trong $E$, $\lambda$ thuộc vào bao đóng của bao lồi của $K$ nhưng không thuộc vào bao lồi này (cf. FVR, II, p. 7, Mệnh đề 5).