Exercice 5, § 4

a) Soit E un espace normé de dimension infinie, et soit $\mathscr{T}$ sa topologie. Montrer qu’il existe sur E une topologie d’espace normé $\mathscr{T}'$ strictement plus fine que $\mathscr{T}$, et une topologie d’espace normé $\mathscr{T}''$ strictement moins fine que $\mathscr{T}$ (définir les voisinages de 0 pour ces topologies, à l’aide d’une base de E mise sous la forme $(a_{\alpha,n})$, où $\alpha$ parcourt un ensemble d’indices infini A et n l’ensemble des entiers $\geqslant 0$, et où l’on a $\|a_{\alpha,n}\| = 1$ pour la norme donnée sur E). b) Soit p une norme définissant la topologie $\mathscr{T}'$. Montrer que, si E est complet pour la topologie $\mathscr{T}$, p ne peut être semi-continue inférieurement dans E pour la topologie $\mathscr{T}$ (utiliser le th. de Baire; $cf.$ III, p. 25, corollaire). En déduire que l’ensemble convexe A défini par la relation $p(x) < 1$ ne contient aucun point intérieur pour $\mathscr{T}$, bien que tous ses points soient internes. c) Déduire de b) que, si E est complet pour la topologie $\mathscr{T}$, il existe dans E des ensembles convexes non fermés pour $\mathscr{T}$, dont l’intersection avec toute variété linéaire de dimension finie est fermée pour $\mathscr{T}$ ($cf.$ II, p. 71, exerc. 12).