Bài tập 5, § 4

a) Cho $E$ là một không gian chuẩn vô hạn chiều và $\mathscr{T}$ là tôpô của nó. Chứng minh rằng tồn tại trên $E$ một tôpô không gian chuẩn $\mathscr{T}'$ thực sự mịn hơn tôpô $\mathscr{T}$ và một tôpô không gian chuẩn $\mathscr{T}''$ thực sự thô hơn tôpô $\mathscr{T}$ (định nghĩa các lân cận của 0 đối với các tôpô này, sử dụng một cơ sở của $E$ được đặt dưới dạng $(a_{\alpha,n})$ trong đó $\alpha$ biến thiên trong một tập vô hạn các chỉ số $A$ và $n$ trong tập các số nguyên $\geq 0$ và trong đó $\|a_{\alpha,n}\| = 1$ đối với chuẩn đã cho trên $E$. b) Cho $p$ là chuẩn xác định tôpô $\mathscr{T}'$. Chứng minh rằng, nếu $E$ đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$, thì $p$ không thể là nửa liên tục dưới trong $E$ đối với tôpô $\mathscr{T}$ (sử dụng định lý Baire cf. III, p. 25, hệ quả). Suy ra rằng tập lồi $A$ được xác định bởi quan hệ $p(x) < 1$ không chứa điểm trong nào đối với $\mathscr{T}$ mặc dù mọi điểm của nó đều là điểm trong. c) Suy ra từ b) rằng, nếu $E$ đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$, thì tồn tại trong $E$ các tập lồi không đóng đối với $\mathscr{T}$, mà giao của chúng với mọi đa tạp tuyến tính có số chiều hữu hạn là đóng đối với $\mathscr{T}$ (cf. II, p. 67, exerc. 12).

EXERCISES