Exercice 13, § 6

Soit E un espace vectoriel. On dit qu’une topologie localement convexe séparée $\mathscr{T}$ sur E est minimale (et que E, muni de $\mathscr{T}$, est un espace de type minimal) s’il n’existe aucune topologie localement convexe séparée sur E, strictement moins fine que $\mathscr{T}$ (cf. II, p. 87, exerc. 1). a) Soient $\mathscr{T}$ une topologie minimale sur E, $E'$ le dual de E (lorsque E est muni de $\mathscr{T}$) ; montrer que l’on a $\mathscr{T} = \sigma(E, E')$ et $E = {E'}^*$ (remarquer qu’il ne peut exister dans $E'$ d’hyperplan partout dense pour la topologie $\sigma(E', E)$, en utilisant le cor. 3 de II, p. 46). En déduire que les espaces de type minimal sont les produits de droites. b) Montrer que dans un espace localement convexe séparé F, tout sous-espace de type minimal E admet un supplémentaire topologique, et en particulier est fermé (utiliser a) et le th. de Hahn-Banach pour prolonger l’application identique de E dans lui-même en une application de F dans E). c) Soit $u$ une application linéaire continue d’un espace de type minimal E dans un espace localement convexe séparé F. Montrer que $u(E)$ est fermé dans F et que $u$ est un morphisme strict de E dans F (utiliser b) et la définition d’un espace de type minimal). d) Soient F un espace localement convexe séparé, M un sous-espace vectoriel fermé de F. Montrer que, s’il existe un supplémentaire N de M dans F qui soit un sous-espace de type minimal, N est supplémentaire topologique de M dans F (utiliser c)). e) Soit M un sous-espace de type minimal d’un espace localement convexe séparé F ; montrer que, pour tout sous-espace vectoriel fermé N de F, $M + N$ est fermé dans F (considérer l’espace quotient $F/N$, et utiliser c)). Si en outre N est de type minimal, $M + N$ est de type minimal.