Bài tập 13, § 6

Cho $E$ là một không gian vectơ. Ta nói rằng một tôpô lồi địa phương Hausdorff $\mathscr{T}$ trên $E$ là cực tiểu (và rằng $E$, với $\mathscr{T}$, là một không gian kiểu cực tiểu) nếu không tồn tại một tôpô lồi địa phương Hausdorff nào trên $E$ ngặt thô hơn $\mathscr{T}$ (cf. II, p. 81, exerc. 1). *a) Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô cực tiểu trên $E$, và cho $E'$ là đối ngẫu của $E$ (khi $E$ mang tôpô $\mathscr{T}$); hãy chứng minh rằng $\mathscr{T} = \sigma(E, E')$ và $E = {E'}^*$ (chú ý rằng không thể có một siêu phẳng trù mật khắp nơi trong $E'$ đối với tôpô $\sigma(E', E)$ bằng cách sử dụng hệ quả 3 của II, p. 43). Suy ra rằng các không gian kiểu cực tiểu là các tích của các đường thẳng. *b) Hãy chứng minh rằng trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $F$, mọi không gian con $E$ kiểu cực tiểu đều có một phần bù tôpô, và đặc biệt là đóng (sử dụng a) và định lý Hahn-Banach để mở rộng ánh xạ đồng nhất của $E$ vào chính nó thành một ánh xạ của $F$ vào $E$. *c) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của một không gian $E$ kiểu cực tiểu vào một không gian lồi địa phương Hausdorff $F$. Hãy chứng minh rằng $u(E)$ là đóng trong $F$ và rằng $u$ là một cấu xạ ngặt của $E$ vào $F$ (sử dụng b) và định nghĩa của một không gian kiểu cực tiểu). *d) Cho $F$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff và $M$ là một không gian con vectơ đóng của $F$. Hãy chứng minh rằng, nếu tồn tại một phần bù $N$ của $M$ trong $F$ là một không gian con kiểu cực tiểu, thì $N$ là một phần bù tôpô của $M$ trong $F$ (sử dụng c). *e) Cho $M$ là một không gian con kiểu cực tiểu trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $F$; hãy chứng minh rằng, đối với mọi không gian con vectơ đóng $N$ của $F$, tổng $M + N$ là đóng trong $F$ (xét không gian thương $F/N$ và sử dụng c)). Nếu thêm nữa $N$ là kiểu cực tiểu, thì $M + N$ là kiểu cực tiểu.