Exercice 14, § 6

Soient E un espace localement convexe séparé, F un espace localement convexe de type minimal (exerc. 13). a) Montrer que si M est un sous-espace vectoriel fermé de l’espace produit $E \times F$, sa projection sur E est fermée dans E (utiliser l’exerc. 13, e)). b) Soit $u$ une application linéaire de E dans F. Montrer que si le graphe de $u$ est fermé dans $E \times F$, $u$ est continue (utiliser a)). c) On suppose que, dans E, tout sous-espace vectoriel fermé admette un supplémentaire topologique (cf. V, p. 13). Montrer que, dans $E \times F$, tout sous-espace vectoriel fermé M admet un supplémentaire topologique. (Si $N_1$ est la projection de M sur E, $N_2$ un supplémentaire topologique de $N_1$ dans E, $P_1 = M \cap F$, $P_2$ un supplémentaire topologique de $P_1$ dans F, montrer que $N_2 + P_2$ est un supplémentaire topologique de M dans $E \times F$, en utilisant b).)