Bài tập 14, § 6

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff và $F$ là một không gian lồi địa phương kiểu cực tiểu (Bài tập 13). *a) Chứng minh rằng nếu $M$ là một không gian con vectơ đóng của không gian tích $E \times F$, thì phép chiếu của nó trên $E$ là đóng trong $E$ (dùng Bài tập 13, e)). *b) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính của $E$ vào $F$. Chứng minh rằng nếu đồ thị của $u$ là đóng trong $E \times F$, thì $u$ là liên tục (dùng a). c) Giả sử rằng, trong $E$, mọi không gian con vectơ đóng đều có một phần bù tôpô (cf.* V, p. 13). Chứng minh rằng, trong $E \times F$, mọi không gian con vectơ đóng $M$ đều có một phần bù tôpô. (Nếu $N_1$ là phép chiếu của $M$ trên $E$ và $N_2$ là một phần bù tôpô của $N_1$ trong $E$, nếu $P_1 = M \cap F$, và $P_2$ là một phần bù tôpô của $P_1$ trong $F$, chứng minh rằng $N_2 + P_2$ là một phần bù tôpô của $M$ trong $E \times F$, dùng b).)