Exercice 15, § 6

Soient E, F deux espaces localement convexes séparés. On dit qu’une application linéaire continue $u : E \to F$ est linérairement propre si, pour tout espace localement convexe séparé G et tout sous-espace vectoriel fermé V de $E \times G$, l’image de V par $u \times 1_G : E \times G \to F \times G$ est fermée. Montrer que cette condition équivaut à la suivante : $u^{-1}(0)$ est un sous-espace de type minimal de E et pour tout sous-espace vectoriel fermé W de E, $u(W)$ est fermé dans F. (Pour montrer que la première condition entraîne la seconde, considérer l’application $v : E \to \{0\}$ et, en munissant E de $\sigma(E, E')$, de sorte que E est plongé dans ${E'}^*$ muni de $\sigma({E'}^*, E')$, prendre l’image par la projection $v \times 1_{{E'}^*} : E \times {E'}^* \to {E'}^*$ de l’adhérence dans $E \times {E'}^*$ de la diagonale $\Delta$ de $E \times E$. Pour montrer que la seconde condition entraîne la première, montrer qu’elle implique que, pour les topologies $\sigma(E, E')$ et $\sigma(F, F')$, $u$ est un morphisme strict et utiliser l’exerc. 13, e).)