Bài tập 15, § 6

Cho $E, F$ là hai không gian lồi địa phương Hausdorff. Ta nói rằng một ánh xạ tuyến tính liên tục $u : E \to F$ là thực sự tuyến tính nếu, với mọi không gian lồi địa phương Hausdorff $G$ và mọi không gian con vectơ đóng $V$ của $E \times G$, ảnh của $V$ qua $u \times 1_G : E \times G \to F \times G$ là đóng. Hãy chứng minh rằng điều kiện này tương đương với điều kiện sau : $u^{-1}(0)$ là một không gian con kiểu cực tiểu của $E$ và với mọi không gian con vectơ đóng $W$ của $E$, tập hợp $u(W)$ là đóng trong $F$. (Để chứng minh rằng điều kiện thứ nhất kéo theo điều kiện thứ hai, xét ánh xạ $v : E \to \{0\}$ và, cho $E$ tôpô $\sigma(E, E')$, sao cho $E$ được nhúng vào ${E'}^*$ với $\sigma({E'}^*, E')$, lấy ảnh qua phép chiếu $v \times 1_{{E'}^*} : E \times {E'}^* \to {E'}^*$ của bao đóng trong $E \times {E'}^*$ của đường chéo $\Delta$ của $E \times E$. Để chứng minh rằng điều kiện thứ hai kéo theo điều kiện thứ nhất, hãy chứng minh rằng nó kéo theo rằng, đối với các tôpô $\sigma(E, E')$ và $\sigma(F, F')$, ánh xạ $u$ là một cấu xạ ngặt và sử dụng bài tập 13, e). \*