Exercice 16, § 6

Soient F un produit de droites, C un ensemble convexe fermé dans F. a) Montrer qu’il existe $x_0 \in F$, deux ensembles I et J et un isomorphisme topologique $u$ de F sur $\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J$ tels que $u(x_0 + C)$ soit de la forme $\mathbf{R}^I \times A$, où A est une partie convexe fermée de $\mathbf{R}_+^J$. (Remarquer que l’on a $F = G^*$, F étant muni de $\sigma(G^*, G)$; considérer le polaire $C^\circ$ de C dans G, le sous-espace vectoriel de G engendré par $C^\circ$ et un supplémentaire de ce sous-espace.) b) Si C ne contient aucune droite affine, l’application $(x, y) \mapsto x + y$ de $C \times C$ dans F est propre. c) Supposons que C soit un cône de sommet 0 et que la structure uniforme induite sur C par celle de F soit métrisable. Alors, si les ensembles I et J, le point $x_0$ et l’application $u$ vérifient les conditions de a), I est dénombrable, et il existe une partie dénombrable H de J telle que la restriction à $u(x_0 + C)$ de la projection canonique $p : \mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J \to \mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^H$ soit un isomorphisme du sous-espace uniforme $u(x_0 + C)$ de $\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J$ sur le sous-espace uniforme $p(u(x_0 + C))$ de $\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^H$.