Bài tập 16, § 6

Cho $F$ là một tích của các đường thẳng và $C$ là một tập lồi đóng trong $F$. *a) Chứng minh rằng tồn tại $x_0 \in F$, hai tập hợp $I$ và $J$ và một đẳng cấu tôpô $u$ của $F$ lên $\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J$ sao cho $u(x_0 + C)$ có dạng $\mathbf{R}^I \times A$, trong đó $A$ là một tập lồi đóng của $\mathbf{R}_+^J$. (Chú ý rằng ta có $F = G^*$ trong đó $F$ có tôpô $\sigma(G^*, G)$; xét đối cực $C^\circ$ của $C$ trong $G$, không gian con vectơ của $G$ sinh bởi $C^\circ$ và một phần bù của không gian con này.) *b) Nếu $C$ không chứa một đường thẳng afin nào, ánh xạ $(x, y) \mapsto x + y$ của $C \times C$ vào $F$ là thực sự. *c) Giả sử rằng $C$ là một nón có đỉnh 0 và rằng cấu trúc đều cảm sinh trên $C$ bởi cấu trúc đều của $F$ là mêtric hóa được. Khi đó nếu các tập hợp $I$ và $J$, điểm $x_0$ và ánh xạ $u$ thỏa mãn các điều kiện của a) thì $I$ là đếm được và tồn tại một tập con đếm được $H$ của $J$ sao cho hạn chế của phép chiếu chính tắc $p : \mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J \to \mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^H$ lên $u(x_0 + C)$ là một đẳng cấu của không gian con đều $u(x_0 + C)$ của $\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J$ lên không gian con đều $p(u(x_0 + C))$ của $\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^H$.