Exercice 18, § 6

a) Dans un espace normé E, soit A un ensemble convexe fermé $\neq E$; montrer que la fonction $x \mapsto d(x, \mathscr{C} A)$ est concave dans A (utiliser le fait que A est intersection de demi-espaces fermés). b) On définit par récurrence une suite d’ensembles convexes fermés $A_n \subset \mathbf{R}^n$ de la façon suivante : $A_1 = \mathbf{R}_+$; si $\mathbf{R}^{n+1}$ est identifié à $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}$, $A_{n+1}$ est l’ensemble des couples $(x, \xi)$ tels que $x \in \mathring{A}_n$ et que

où $\|x\|$ est la norme euclidienne. Montrer que $A_{n+1}$ n’admet aucun hyperplan d’appui de la forme $H \times \mathbf{R}$, où H est un hyperplan de $\mathbf{R}^n$ et que son cône asymptote est $C_{A_{n+1}} = \{0\} \times \mathbf{R}_+$. c) Si $p_{nm}$ est la projection canonique $\mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^n$ ($\mathbf{R}^m$ étant identifié à $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^{m-n}$) pour $m \geq n$, montrer que lorsque $\mathbf{R}^N$ est identifié à la limite projective du système projectif $(\mathbf{R}^n, p_{nm})$, les $A_n$ forment un système projectif d’ensembles, et que $A = \lim A_n$ est un ensemble convexe fermé non relativement compact dans $\mathbf{R}^N$, n’admettant aucun hyperplan d’appui fermé, et tel que $C_A = \{0\}$.