Bài tập 18, § 6

a) Trong một không gian chuẩn E, cho A là một tập lồi đóng $\neq E$; hãy chứng minh rằng hàm $x \mapsto d(x, \complement A)$ là lõm trên A (sử dụng sự kiện rằng A là giao của các nửa không gian đóng). b) Định nghĩa quy nạp một dãy các tập lồi đóng $A_n \subset \mathbf{R}^n$ theo cách sau; $A_1 = \mathbf{R}_+$; nếu $\mathbf{R}^{n+1}$ được đồng nhất với $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}$, thì $A_{n+1}$ là tập hợp các cặp $(x, \xi)$ sao cho $x \in \overset{\circ}{A}_n$ và

trong đó $\|x\|$ là chuẩn Euclid. Hãy chứng minh rằng $A_{n+1}$ không có bất kỳ siêu phẳng tựa nào có dạng $H \times \mathbf{R}$, trong đó H là một siêu phẳng của $\mathbf{R}^n$ và rằng nón tiệm cận của nó là $\{0\} \times \mathbf{R}_+$. c) Nếu $p_{nm}$ là phép chiếu chính tắc $\mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^n$ ($\mathbf{R}^m$ được đồng nhất với $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^{m-n}$) đối với $m \geq n$, hãy chứng minh rằng khi $\mathbf{R}^N$ được đồng nhất với giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh $(\mathbf{R}^n, p_{nm})$ thì các $A_n$ tạo thành một hệ xạ ảnh các tập hợp và rằng $A = \lim \leftarrow A_n$ là một tập lồi đóng không tương đối compact trong $\mathbf{R}^N$, không có siêu phẳng đóng tựa và sao cho $C_A = \{0\}$.