Exercice 20, § 6

Soient $F = \mathbf{R}^{(A)}$, $G = \mathbf{R}^A$, où $A$ est un ensemble infini quelconque ; $F$ et $G$ sont mis en dualité séparante par la forme bilinéaire $\langle x, y \rangle = \sum_{\alpha \in A} x(\alpha)\ y(\alpha)$.

a) Soit $N$ un sous-groupe additif de $G$ ; on désigne par $N^*$ le sous-groupe des $x \in F$ tels que $\langle x, y \rangle$ soit entier pour tout $y \in N$, et par $N^{**}$ le sous-groupe des $z \in G$ tels que $\langle x, z \rangle$ soit entier pour tout $x \in N^*$. Si $\overline{N}$ est l’adhérence de $N$ pour la topologie $\sigma(G, F)$, montrer que $N^*$ est fermé dans $F$ pour $\sigma(F, G)$ et que $N^{**} = \overline{N}$ (pour établir ce dernier point, utiliser TG, VII, p. 7, prop. 6, en projetant $N$ sur les variétés coordonnées de $G$, de dimension finie). b) On suppose que $A = N$. Soit $M$ un sous-groupe fermé de $F$ pour $\sigma(F, G)$ ; montrer que, si $V$ est le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans $M$, $M$ est somme directe topologique de $V$ et d’un sous-groupe fermé $P$ qui est un $\mathbf{Z}$-module libre ayant une base dénombrable. (Considérer $F$ comme réunion d’une suite croissante $(F_n)$ de sous-espaces vectoriels de dimension finie, et appliquer TG, VII, p. 5, th. 2 et p. 20, exerc. 7.) Pour que $P$ soit discret (pour la topologie induite par $\sigma(F, G)$), il faut et il suffit que $P$ soit de rang fini. c) Déduire de a) et de b) que lorsque $A = N$, tout sous-groupe fermé de $G$ (lorsque $G$ est muni de la topologie produit $\sigma(G, F)$) peut être transformé, par un automorphisme du groupe topologique $G$, en un produit $\mathbf{R}^I \times \mathbf{Z}^J$, où $I$ et $J$ sont deux parties de $N$ sans élément commun. d) Dans l’espace $E = \mathbf{R}^N$, muni de la topologie $\sigma(E, E^*)$, montrer que le sous-groupe $\mathbf{Z}^N$ est fermé et ne contient aucune droite, bien que n’étant pas un $\mathbf{Z}$-module libre (A, VII, p. 59, exerc. 8) ; les résultats de b) ne s’étendent donc pas lorsque $A$ n’est pas dénombrable.