Bài tập 20, § 6

Cho $F = \mathbf{R}^{(A)}, G = \mathbf{R}^A$, trong đó A là một tập vô hạn bất kỳ; giả sử rằng F và G được đặt trong đối ngẫu tách bởi dạng song tuyến tính $\langle x, y \rangle = \sum_{\alpha \in A} x(\alpha) \, y(\alpha)$. a) Cho N là một nhóm con cộng tính của G; ta ký hiệu $N^*$ là nhóm con gồm các $x \in F$ sao cho $\langle x, y \rangle$ là một số nguyên với mọi $y \in N$ và $N^{**}$ là nhóm con gồm các $z \in G$ sao cho $\langle x, z \rangle$ là một số nguyên với mọi $x \in N^*$. Nếu $\overline{N}$ là bao đóng của N đối với tôpô $\sigma(G, F)$, hãy chứng minh rằng $N^*$ là đóng trong F đối với $\sigma(F, G)$ và rằng $N^{**} = \overline{N}$ (để thiết lập điểm cuối cùng này, sử dụng GT, VII, § 1.3, prop. 6, chiếu N lên các đa tạp tọa độ hữu hạn chiều của G). b) Giả sử rằng $A = N$. Cho M là một nhóm con đóng của F đối với $\sigma(F, G)$; hãy chứng minh rằng nếu V là không gian vectơ lớn nhất được chứa trong M, thì M là tổng trực tiếp tôpô của V và của một nhóm con đóng P là một $\mathbf{Z}$-môđun tự do có một cơ sở đếm được. (Xét F như hợp của một dãy tăng $(F_n)$ các không gian con vectơ hữu hạn chiều và áp dụng GT, VII, § 1.2, th. 2 và § 1, exerc. 7.) P là rời rạc (đối với tôpô cảm sinh bởi $\sigma(F, G)$), khi và chỉ khi, P có hạng hữu hạn. c) Suy ra từ a) và b) rằng khi $A = N$, mọi nhóm con đóng của G (khi G mang tôpô tích $\sigma(G, F)$) có thể được biến đổi, bởi một tự đẳng cấu của nhóm tôpô G, thành một tích $\mathbf{R}^I \times \mathbf{Z}^J$, trong đó I và J là hai tập hợp của N không có phần tử chung. d) Trong không gian $E = \mathbf{R}^N$, mang tôpô $\sigma(E, E^*)$, hãy chứng minh rằng nhóm con $\mathbf{Z}^N$ là đóng và không chứa bất kỳ đường thẳng nào, mặc dù nó không phải là một $\mathbf{Z}$-môđun tự do (A, VII, p. 59, exerc. 8); do đó các kết quả của b) không mở rộng khi A không đếm được.