Exercice 9, § 6

Soient F, G deux espaces vectoriels en dualité séparante, A une partie convexe de F contenant 0. Pour tout y ∈ G, on pose

de sorte que 0 ≤ H_A(y) ≤ +∞ ; on dit que H_A est la fonction d’appui de A. a) Montrer que H_A est la jauge de A° (II, p. 22). b) Si A est faiblement compact, alors, pour tout y ∈ G, l’hyperplan d’équation ⟨x, y⟩ = H_A(y) est un hyperplan d’appui de A. c) Pour que H_A soit finie et continue pour la topologie σ(G, F), il faut et il suffit que A soit de dimension finie et borné (dans le sous-espace vectoriel de dimension finie qu’il engendre). d) Soient A_i (1 ≤ i ≤ p) des ensembles convexes dans F contenant 0, λ_i des nombres réels ≥ 0 (1 ≤ i ≤ p) ; montrer que la fonction d’appui de l’ensemble convexe A = ∑_i λ_iA_i est H_A = ∑_i λ_iH_{A_i}. Si y ∈ G est tel que l’intersection C_i de A_i et de l’hyperplan ⟨x, y⟩ = H_A(y) soit non vide pour 1 ≤ i ≤ p, montrer que l’intersection de A et de l’hyperplan d’équation ⟨x, y⟩ = H_A(y) est l’ensemble ∑_i λ_iC_i. e) Supposons que A soit localement compact et ne contienne aucune droite. Alors l’ensemble réunion de {0} et de l’ensemble des y ≠ 0 tels que H_A(y) = +∞, H_A(−y) ≠ +∞ est le cône polaire du cône asymptote C_A (considérer le cas où A est l’enveloppe convexe de {0} et d’une demi-droite). f) On suppose que F est de dimension finie. Montrer que, pour que A soit parabolique (II, p. 71, exerc. 17) il faut et il suffit que H_A soit une application continue de G dans \overline{R} (s’il existe une droite parallèle à une demi-droite de C_A et ne rencontrant pas A, remarquer qu’il existe un hyperplan séparant cette demi-droite et A).