Bài tập 9, § 6

Cho F và G là hai không gian vectơ trong đối ngẫu phân ly và A là một tập con lồi của F chứa 0. Với mọi $y \in G$, viết

sao cho $0 \leq H_A(y) \leq +\infty$; ta gọi $H_A$ là hàm giá của A. (a) Chứng minh rằng $H_A$ là hàm gauge của $A^\circ$ (II, p. 20). (b) Nếu A là yếu compact, thì, với mọi $y \in G$, siêu phẳng có phương trình $\langle x, y \rangle = H_A(y)$ là một siêu phẳng tựa của A. (c) $H_A$ là hữu hạn và liên tục đối với tôpô $\sigma(G, F)$ khi, và chỉ khi, A là hữu hạn chiều và bị chặn (trong không gian vectơ con hữu hạn chiều mà nó sinh ra). (d) Cho $A_i$ ($1 \leq i \leq p$) là các tập lồi trong F chứa 0 và $\lambda_i$ là các số thực $\geq 0$ ($1 \leq i \leq p$); chứng minh rằng hàm giá của tập lồi $A = \sum_i \lambda_i A_i$ là $H_A = \sum_i \lambda_i H_{A_i}$. Nếu $y \in G$ là sao cho giao $C_i$, của $A_i$ với siêu phẳng $\langle x, y \rangle = H_A(y)$, là khác rỗng với $1 \leq i \leq p$, chứng minh rằng giao của A và siêu phẳng có phương trình $\langle x, y \rangle = H_A(y)$ là tập $\sum_i \lambda_i C_i$. (e) Giả sử rằng A là compact địa phương và không chứa một đường thẳng nào. Khi đó tập hợp là hợp của $\{0\}$ và tập hợp các $y \neq 0$ sao cho $H_A(y) = +\infty, H_A(-y) \neq +\infty$ là nón cực của nón tiệm cận $C_A$ (xét trường hợp khi A là bao lồi của $\{0\}$ và của một nửa đường thẳng). (f) Giả sử rằng F là hữu hạn chiều. Chứng minh rằng, A là parabol (II, p. 67, exerc. 17) khi và chỉ khi $H_A$ là một ánh xạ liên tục của G vào $\overline{\mathbf{R}}$ (nếu tồn tại một đường thẳng song song với một nửa đường thẳng của $C_A$, không gặp A, chú ý rằng tồn tại một siêu phẳng phân tách nửa đường thẳng này khỏi A).