Exercice 19, § 7

Dans l’espace $\mathbf{R}^n$, soit $(K_\alpha)$ une famille d’ensembles compacts, en nombre $\geq n + 1$, et dont aucun n’est contenu dans un hyperplan affine. On suppose que pour toute famille $(u_\alpha)$ d’automorphismes affines de $\mathbf{R}^n$, si $n + 1$ quelconques des ensembles $u_\alpha(K_\alpha)$ ont un point commun, alors tous les $u_\alpha(K_\alpha)$ ont un point commun. Montrer que dans ces conditions les $K_\alpha$ sont convexes. (Raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe $n + 1$ points $x_1, \ldots, x_{n+1}$ dans un même ensemble $K_\alpha$ et un point $x_0$ appartenant à l’enveloppe convexe de l’ensemble des $x_i$ ($i \geq 1$) mais non à $K_\alpha$. Remarquer que pour tout indice $i \geq 1$, il y a un automorphisme affine $u_i$ de $\mathbf{R}^n$ et un indice $\alpha_i$ tels que $x_0$ et les $x_j$ d’indices $j \neq i$ soient points extrémaux de $u_i(K_{\alpha_i})$, et montrer que les $n + 2$ ensembles $K_\alpha$ et $u_i(K_{\alpha_i})$ n’ont aucun point commun.)