Bài tập 19, § 7

Trong không gian $\mathbf{R}^n$, cho $(K_\alpha)$ là một họ các tập hợp compact, có số lượng $\geq n + 1$, và sao cho không tập hợp nào trong số chúng được chứa trong một siêu phẳng affine. Giả sử rằng đối với mọi họ $(u_\alpha)$ các tự đẳng cấu affine của $\mathbf{R}^n$, nếu bất kỳ $n + 1$ trong các tập hợp $u_\alpha(K_\alpha)$ có một điểm chung, thì tất cả các $u_\alpha(K_\alpha)$ có một điểm chung. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này các $K_\alpha$ là lồi. (Giả sử ngược lại rằng tồn tại $n + 1$ điểm $x_1, ..., x_{n+1}$ trong cùng một tập hợp $K_\alpha$ và một điểm $x_0$ thuộc bao lồi của tập hợp các $x_i$ ($i \geq 1$) nhưng không thuộc $K_\alpha$. Chú ý rằng với mọi chỉ số $i \geq 1$, có một tự đẳng cấu affine $u_i$ của $\mathbf{R}^n$ và một chỉ số $\alpha_i$ sao cho $x_0$ và các $x_j$ có chỉ số $j \neq i$ là các điểm cực biên của $u_i(K_{\alpha_i})$, và chứng minh rằng $n + 2$ tập hợp $K_\alpha$ và $u_i(K_{\alpha_i})$ không có điểm chung.)