Exercice 24, § 7

Dans $\mathbf{R}^n$, on appelle polyèdre (resp. cône polyédral) toute intersection finie de demi-espaces fermés (resp. de demi-espaces fermés déterminés par des hyperplans passant par un même point). On dit qu’un ensemble convexe $C \subset \mathbf{R}^n$ est localement polyédral en un point $x \in C$ s’il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $C$ qui soit un polyèdre.

a) Montrer que, pour qu’un ensemble convexe fermé $C \subset \mathbf{R}^n$ soit localement polyédral en un point $x \in C$, il faut et il suffit que le cône de sommet $x$ engendré par $C$ soit polyédral. b) Montrer qu’un ensemble convexe compact dans $\mathbf{R}^n$ qui est localement polyédral en chacun de ses points est un polyèdre (utiliser $a$) ). c) Soit $P \subset \mathbf{R}^n$ un ensemble convexe fermé ayant un point intérieur. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ $P$ est un polyèdre. $\beta)$ $P$ n’a qu’un nombre fini de facettes (II, p. 92, exerc. 3). $\gamma)$ $P$ est l’enveloppe convexe d’un ensemble réunion d’un nombre fini de points et d’un nombre fini de demi-droites fermées. (Pour montrer que $\alpha$) entraîne $\beta)$, prendre $P$ comme intersection d’un nombre le plus petit possible de demi-espaces fermés, et montrer que les hyperplans définissant ces sous-espaces sont alors engendrés par des facettes de dimension $n - 1$ de $P$. Pour montrer que $\beta)$ entraîne $\gamma)$, raisonner par récurrence sur $n$. Enfin, pour voir que $\gamma)$ entraîne $\alpha)$, considérer le polaire $P^\circ$ de $P$.) d) Montrer que tout polyèdre convexe $P$ peut s’écrire $Q + C_P$, où $Q$ est un polyèdre compact et $C_P$ le cône asymptote de $P$. Un polyèdre non compact ne peut être parabolique. e) Montrer que toute facette d’un polyèdre convexe est une ultrafacette (II, p. 93, exerc. 7, $d$) ) (raisonner par récurrence sur $n$).