Bài tập 24, § 7

Trong $\mathbf{R}^n$, mọi giao của hữu hạn nhiều nửa không gian đóng (tương ứng, của các nửa không gian đóng được xác định bởi các siêu phẳng đi qua cùng một điểm) được gọi là một đa diện (tương ứng, một nón đa diện). Một tập lồi $C \subset \mathbf{R}^n$ là đa diện địa phương tại một điểm $x \in C$ nếu có một lân cận $V$ của $x$ trong $C$ là một đa diện. *a) Chứng minh rằng, nếu một tập lồi đóng $C \subset \mathbf{R}^n$ là đa diện địa phương tại một điểm $x \in C$, thì nón có đỉnh $x$ sinh bởi $C$ là đa diện. *b) Chứng minh rằng một tập lồi compact trong $\mathbf{R}^n$ là đa diện nếu nó là đa diện địa phương tại mỗi điểm của nó (dùng a). *c) Cho $P \subset \mathbf{R}^n$ là một tập lồi đóng có một điểm trong. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương : α) $P$ là một đa diện. β) $P$ chỉ có một số hữu hạn mặt (II, p. 87, bài tập 3). γ) $P$ là bao lồi của một tập hợp là hợp của hữu hạn điểm và hữu hạn nửa đường thẳng đóng. (Để chứng minh rằng $\alpha$ suy ra $\beta$) lấy $P$ là giao của số nhỏ nhất có thể các nửa không gian đóng, và chứng minh rằng các siêu phẳng xác định các nửa không gian này được sinh bởi các mặt có chiều $n - 1$ của $P$. Để chứng minh rằng $\beta$ suy ra $\gamma$), lập luận bằng quy nạp theo $n$. Cuối cùng, để thấy rằng $\gamma$ suy ra $\alpha$), xét đối cực $P^\circ$ của $P$. *d) Chứng minh rằng mọi đa diện lồi $P$ có thể được viết dưới dạng $Q + C_P$, trong đó $Q$ là một đa diện compact và $C_P$ là nón tiệm cận của $P$. Một đa diện không compact không thể là parabol. *e) Chứng minh rằng mọi mặt của một đa diện lồi là một siêu mặt (II, p. 88, bài tập 7, d)) (lập luận bằng quy nạp theo $n$).