Exercice 25, § 7

a) Soit $C \subset \mathbf{R}^n$ un cône convexe fermé de sommet 0. Montrer que, pour que les projections de $C$ sur tout sous-espace de $\mathbf{R}^n$ de dimension 2 soient fermées, il faut et il suffit que $C$ soit un cône polyédral (exerc. 24). (Se ramener au cas où $C$ ne contient aucune droite ; raisonner par récurrence sur $n$, en utilisant l’existence d’une semelle compacte $S$ pour $C$ (II, p. 95, exerc. 21, $a$) ), et projetant sur un hyperplan parallèlement à une droite joignant 0 à un point extrémal de $S$ ; en déduire que $S$ est localement polyédral (exerc. 24).)

b) Déduire de a) que, si l’on munit $\mathbf{R}^n$ de l’ordre pour lequel C est l’ensemble des éléments $\geqslant 0$, alors, afin que pour tout sous-espace vectoriel F de $\mathbf{R}^n$, toute forme linéaire positive sur F se prolonge en une forme linéaire positive sur $\mathbf{R}^n$, il faut et il suffit que C soit un cône polyédral (appliquer $a$) au cône polaire $C^\circ$. Donner un exemple de forme linéaire positive sur F et non prolongeable en une forme linéaire positive sur $\mathbf{R}^n$ lorsque $n = 3$, C est le cône engendré par l’ensemble des $(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ tels que $\xi_1 = 1, \xi_3 \geqslant (\xi_2^3)^-, F$ le sous-espace $\xi_3 = 0$. c) Soit A un polyèdre dans $\mathbf{R}^n$. Afin que, pour tout polyèdre B, l’enveloppe convexe de $A \cup B$ soit fermée, il faut et il suffit que A soit compact (utiliser l’exerc. 24, $d$).