Bài tập 25, § 7

*a) Cho $C \subset \mathbf{R}^n$ là một nón lồi đóng có đỉnh 0. Chứng minh rằng các phép chiếu của $C$ lên mọi không gian con 2 chiều của $\mathbf{R}^n$ đều đóng khi và chỉ khi $C$ là một nón đa diện (bài tập 24). (Rút gọn về trường hợp khi $C$ không chứa đường thẳng nào: lập luận bằng quy nạp theo $n$ sử dụng sự tồn tại của một đáy compact $S$ của $C$ (II, p. 90, bài tập 21, a)), và chiếu lên một siêu phẳng song song với một đường thẳng nối 0 với một điểm cực biên của $S$, và suy ra rằng $S$ là đa diện địa phương (bài tập 24). *b) Suy ra từ a) rằng, nếu ta cho $\mathbf{R}^n$ cấp sao cho $C$ là tập hợp các phần tử $\geqslant 0$, thì, mọi dạng tuyến tính dương trên mọi không gian con vectơ $F$ của $\mathbf{R}^n$ có thể được mở rộng thành một dạng tuyến tính dương trên $\mathbf{R}^n$ khi và chỉ khi $C$ là một nón đa diện (áp dụng a) cho nón đối cực $C^\circ$. Nếu $C$ là nón trong $\mathbf{R}^3$ sinh bởi các $(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ sao cho $\xi_1 = 1, \xi_3 \geqslant (\xi_2^3)^-$, và $F$ là không gian con $\xi_3 = 0$ hãy cho một ví dụ về một dạng tuyến tính dương trên $F$ không thể được mở rộng thành một dạng tuyến tính dương trên $\mathbf{R}^3$. *c) Cho $A$ là một đa diện trong $\mathbf{R}^n$. Khi đó, bao lồi của $A \cup B$ là đóng đối với mọi đa diện $B$, khi và chỉ khi, $A$ là compact (dùng bài tập 24, d)).